Did Claude Fable Solve an 87-Year-Old Problem? Did Claude Fable Solve an 87-Year-Old Problem?
A counterexample that Claude’s latest model, Fable, found in a matter of hours brought down a math problem nobody had cracked since 1939, 87 years and counting.
The conjecture says that a polynomial map preserving information locally must have an inverse globally too. Written a bit more precisely: when the Jacobian determinant of a polynomial map defined over the complex numbers is a nonzero constant everywhere, must have an inverse map that is itself polynomial, a proposition that has sat in the middle of algebraic geometry ever since Keller posed it, unresolved, and which…
Forget it. What the AI found is the one function below.
The news frames this as “AI improving on its own.” The way I see it, this is less creation than a rearrangement of what was already piled up. The ingredients that went into the counterexample, Nagata automorphisms, triangular structures and so on, are all concepts left behind by earlier mathematicians. What the AI did, guided by the advice of the mathematicians directing it, was fit concepts together inside its latent space in directions that looked promising and put them back when they didn’t line up, over and over. Filling in between points that are already plotted has a name: interpolation.
So are humans any different? Even Newton reached gravity only because an apple happened to fall in front of him. And still, in front of leaps like that, we want to believe humans do some fundamentally different kind of thinking.
Personally, I split human leaps into three layers. Interpolation between nearby fields. Interpolation between far-apart domains. And extrapolation. A three-rung ladder, so to speak.
Most progress happens in the first two layers. The second one, bridging distant domains, often looks like it changed the world. Ford’s assembly line is exactly that. It didn’t spring from nothing; it took the flow of a slaughterhouse, where carcasses got taken apart, and flipped it into putting cars together. A brilliant long-distance interpolation between two entirely different worlds.
But what overturns the world at its root is the third layer, extrapolation. That’s what I believe. Time and space had been treated as two separate axes; Einstein, through thought experiments about light, showed the two aren’t independent and created a new concept, spacetime. Extrapolation as I define it goes beyond connecting distant concepts: it replaces the frame that held those concepts in the first place. Can AI actually do this?
So where on the ladder does this counterexample sit? Nowhere near extrapolation. It’s the bottom rung, the nearest kind of interpolation. Every element needed to solve the problem was already out there, and how to use them came pre-injected as context by the mathematicians commanding Fable. All it took was knowing those elements existed, plus the patience to grind until a counterexample showed up. AI is climbing this ladder at a frightening pace.
It gets harder as the distance between two concepts grows. The farther apart they sit, the more the possible combinations explode, while the means of telling which combination is real evaporates. At close range, combinations that look plausible usually are. As the distance grows, plausible and correct come apart. When far-flung things resemble each other on the surface, it’s mostly coincidence.
So the problem of distance collapses into the problem of landing. What separates AI from humans is the moment of landing, more than how far either can jump. AI can pour out plausible candidates by the bucket; what matters is the ability to judge which of them is real and feed that verdict back into the next search.
As Andrej Karpathy has stressed, verifiability is a key condition for how fast AI advances. The quicker a problem lets you check whether an answer is right and feed the result into the next attempt, the more trial and error AI can repeat cheaply. The Jacobian counterexample worked that way too. Generate a candidate, compute the Jacobian, check whether an inverse exists, revise when it fails: the entire cycle could be repeated mechanically. The point is that the search-and-verify loop was closed, more than the problem itself being easy. None of this means AI can’t solve problems that are hard to verify. Lately AI has been observed producing long proofs even on research-grade math that needs expert review. But the human is still the main actor: picking the problem, wiring up the tools, reviewing the generated proofs, redirecting the search when needed.
The real gate is the ability to build a loop that turns each landing into material for the next jump. If AI verifies its own answers and routes the results back to steer its next search, the search stops being mere candidate generation and becomes an autonomous research process of its own. From that moment on, would it still be easy to call what I’ve been naming extrapolation a humans-only domain? Maybe insight is just another name for jumping far and landing precisely, and was never a special human faculty to begin with.
Claude의 최신 모델 Fable이 단 몇 시간 만에 찾아낸 반례가 1939년부터 87년째 아무도 넘지 못하던 수학 난제를 무너뜨렸다.
이 난제는 국소적으로 정보를 보존하는 다항식 사상이라면 대역적으로도 그 역을 가진다는 것. 조금 더 정확히 쓰면, 복소수 위에서 정의된 다항식 사상 의 야코비안 행렬식이 항등적으로 0이 아닌 상수일 경우 는 반드시 다항식으로 이루어진 역사상을 가진다는 명제로, 켈러가 제기한 이래 대수기하학의 한복판에 놓여 온 미해결 문제로서……
접어두자. AI가 찾은 건 아래 함수 하나다.
뉴스에서는 이를 두고 “AI가 스스로 발전한다”고 말한다. 내가 볼 땐 이건 창조보다는 이미 쌓여 있던 것의 재배치에 가깝다. 반례를 만드는 데 동원된 재료들 나가타 자기동형, 삼각화 구조 등등은 전부 앞선 수학자들이 남긴 개념이다. AI가 한 일은 지시하는 수학자들의 조언에 따라서 잠재 공간(latent space) 안에서 개념들을 될 법한 방향으로 조각을 끼워 보고 어긋나면 도로 집어넣기를 반복한 것이다. 이렇게 이미 찍혀 있는 점들 사이를 메워 답을 찾는 걸 보간(interpolation)이라 한다.
그럼 사람은 다를까? 뉴턴도 결국, 눈앞에 떨어지는 사과가 있었기에 비로소 중력에 가닿을 수 있었다. 그럼에도 그런 도약 앞에서는 인간이 뭔가 근본적으로 다른 종류의 사고를 한다고 믿고 싶어진다.
개인적으로 나는 인간의 도약을 세 층으로 나눠서 본다. 가까운 분야끼리의 보간, 멀리 떨어진 영역끼리의 보간, 그리고 외삽. 말하자면 세 칸짜리 사다리인 셈이다.
대부분의 발전은 앞의 두 층에서 일어난다. 특히 멀리 떨어진 영역을 잇는 두 번째 보간은 종종 세상을 바꾼 것처럼 보인다. 포드의 컨베이어 조립 라인이 그렇다. 무에서 떠오른 발상이 아니라, 도축장에서 고기를 ‘해체’하던 흐름을 자동차 ‘조립’으로 뒤집어 옮겨온 것이다. 전혀 다른 두 세계를 이은, 탁월한 원거리 보간이다.
하지만 세계를 근본에서 뒤엎는 건 세 번째 층, 외삽이라고 믿는다. 아인슈타인은 두 개의 다른 축으로 생각되던 시간과 공간을, 빛에 대한 사고 실험을 통해서 둘은 독립적이지 않음을 입증하고 시공간이라는 새로운 개념을 창시했다. 이렇듯 내가 정의하는 외삽은 멀리 있는 개념을 연결하는 것을 넘어 그 개념들을 담고 있던 틀 자체를 바꾸는 것이다. AI가 과연 이런 일을 할 수 있을까?
이번 반례는 이 사다리의 어디쯤일까. 외삽은 커녕 맨 아랫칸, 가장 가까운 보간에 가깝다. 문제를 풀 요소는 이미 다 나와 있었고, 이걸 어떻게 활용해야 하는지는 Fable을 진두지휘하는 수학자들이 이미 컨텍스트로 주입해주니까. 필요한 건 그것들이 ‘존재한다’는 걸 아는 것과 반례에 이를 때까지 버티는 인내뿐이었다. AI는 지금 이 사다리를 무서운 속도로 오르고 있다.
두 개념 간 거리가 멀어질수록 어려워진다. 멀어질수록 이어붙일 수 있는 조합은 폭발적으로 늘어나는데, 정작 그중 무엇이 진짜인지 가려낼 방법은 사라지기 때문이다. 가까운 거리에서는 그럴듯해 보이는 조합이 대체로 실제로도 맞다. 하지만 두 영역이 멀어질수록 그럴듯함과 옳음은 따로 논다. 멀리 떨어진 것들이 표면적으로 닮아 보이는 건 대개 우연이니까.
그러니 거리의 문제는 결국 착지의 문제로 수렴한다. AI와 인간을 가르는 건 얼마나 멀리 뛰느냐가 아니라 착지의 순간이다. AI는 그럴듯한 후보를 잔뜩 쏟아낼 수 있지만, 중요한 것은 그중 무엇이 진짜인지 판별하고 그 결과를 다음 탐색에 다시 반영하는 능력이다.
안드레이 카파시(Andrej Karpathy)가 강조한 것처럼 검증 가능성은 AI의 발전 속도를 결정하는 중요한 조건이다. 답이 맞았는지 빠르게 확인하고 그 결과를 다음 시도에 피드백할 수 있는 문제일수록 AI는 더 많은 시행착오를 값싸게 반복할 수 있다. 이번 야코비안 반례도 그랬다. 후보를 만들고 야코비안을 계산하고, 역함수의 존재 여부를 따져 틀리면 다시 수정하는 과정 전체를 기계적으로 반복할 수 있었다. 중요한 것은 문제 자체가 쉽다는 것이 아니라, 탐색과 검증의 고리가 닫혀 있었다는 것이다. 물론 이것이 검증하기 어려운 문제를 AI가 풀 수 없다는 뜻은 아니다. 실제로 최근에는 전문가의 검토가 필요한 연구급 수학 문제에서도 AI가 긴 증명을 만들어내는 것이 관측되었다. 다만 여전히 인간이 메인이다. 문제를 고르고, 도구를 연결하고, 생성된 증명을 검토하고, 필요하면 탐색의 방향을 수정하는 역할.
진짜 관문은 착지를 다시 도약의 재료로 삼는 루프 생성 능력에 있다. AI가 자신이 만든 답을 검증해서 결과를 다음 탐색의 방향으로 되돌려 보낸다면 탐색은 단순한 후보 생성이 아니라 하나의 자율적인 연구 과정이 된다. 그 순간부터 내가 외삽이라 부르던 것도 더 이상 인간만의 영역이라고 말하기 어려워지지 않을까? 어쩌면 통찰이란 인간의 특별한 능력이 아니라, 멀리 뛰고 정확하게 착지하는 과정의 다른 이름일지도 모른다.